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-Algebraとは次数付のベクトル空間で、

とおいたとき、2-n次のmap

　　　　　　　　　　　　　　　　　

が与えられdifferentialのさらに一般化したような複雑な条件を満たすものである。n=1がdifferentialでn=2がmultiplicationにあたり、それ以上がhigherなassociativityに関するものである。よって、n>2でmが0であれば、それはDGAを意味する。A-infty algebraの基本的なことはKellerの論文【Ke99】を見るとよい。m_1=0であるのようなものをminimalと呼ぶ。任意のDGAに対し、quasi isomorphicなminimal A-infty algebraの存在を示したのは【Kad80】である。minimal A-infty algebra Aのm_3はH_*(A)のHochschild complexのcocycleに対応しており、これをderived DGAとderived Hochschild complexにして考えたのが、【Sag07】である。

　Higher associativityの条件に関しては、A-infinity algebraのtopology versionであるA-infinity spaceの方がよくわかる気がする。簡単に言えば（homotopy associative）H-spaceの発展版である。位相空間のpathを繋ぐ操作をイメージするとわかりやすい。つまり基本群における和の結合に相当する操作である。例えば、３つのpathがあったとき、(f1*f2)*f3～f1*(f2*f3)であり、図で書くとそれぞれ

という具合で、

というhomotopyがある。４つの場合も同様で、assosiativityからf1*f2*f3*f4はどういう順でつなげてもhomotopicになるのだが、この間のhomotopyもさらにhomotopicになっている状況を考えたい。ここを厳密に順番を考慮すると5パターン考えられる。((f1*f2*)*f3)*f4や(f1*f2)*(f3*f4)などである。これも図で書けば、

という変形を考えている事になる。つまりhomotopyは、

となる。K4は五角形である。ついでに５つのpathになると繋げる順序は14パターン。homotopyを考える際のK5にあたるのは５角形と四角形で張られた９面体である。この多面体はassociahedraと呼ばれていて、operadで記述すると議論が楽になるらしい。
　
　A-infty spaceに関する事は【Sta63】を見るとわかりやすい。StasheffはA-infty spaceであることと、その空間をfiberに持つようなあるquasi fibrationのsequenceがあることが同値だと述べている。topological monoid同様この方法でXをfiberにもつquasi fibration
X → EX → BXを構成できて、EXはcontractibleになる。つまり、Xの分類空間BXが構成できる。さらには、A-infty mapからは、分類空間間に連続写像を誘導できる。A-infty mapに関しては【IM70】がよいと思う。A-infty space、A-infty mapで現れる多面体はそれぞれassociahedra【Sta63】、【FGV10】、multipulihedra【IM70】、【For07】と呼ばれていて、表記法は様々である。
　単純に言うとA-infty spaceというのはtopological monoidがhomotopy同値で閉じていない事を補う意味で拡張されたのだと思う。A-infty mapもA-infty homがhomotopicで閉じていないのを補う。つまり、topological monoid Mとhomotopy equivalence、f : M → Xがあった際、Mのmultiplicationとfとそのhomotopy inveceを用いて自然な形でXに
multiplicationが構成できるが、これはmonoid structureにはならないが、A-infty structureを持っていて、その意味でfはA-infty mapになる、という枠組みが根本にあるのではないかと思う。それは【Lei99】でhomotopy monoidとして扱われている。Marklは【Ma99】でA-infty algebraを主体としてmovesと呼んでいる。

　

-Algebraを拡張したのが

-Categoryである。ご多分に漏れず、one objectの

-Categoryが

-Algebraなのである。【Lyu03】にはA-infty catgeoryとA-infty functorについての考察がある。